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COURS - Géométrie différentielle, groupes et algèbres de Lie, fibrés et connexions

Thierry MASSON
Laboratoire de Physique Théorique1
Université Paris XI , France






Table des matières

1 Variétés différentiables

1.1 Variétés différentiables, généralités
1.1.1 Définitions des variétés .
1.1.2 Espace tangent
1.1.3 Champs de vecteurs
1.1.4 Espace cotangent
1.1.5 Applications différentiables entre variétés
1.2 Tenseurs et formes différentielles
1.2.1 Rappel sur les tenseurs
1.2.2 Tenseurs sur une variété
1.2.3 Formes différentielles
1.2.4 Différentielle

1.2.5 Cohomologie de de Rham
1.2.6 Dérivée de Lie
1.2.7 Intégration
1.3 Connexions linéaires
1.3.1 Connexions
1.3.2 Torsion et courbure
1.4 Variétés riemanniennes
1.4.1 Métrique
1.4.2 Connexion de Lévi-Civita
1.4.3 Coordonnées normales
1.4.4 Bases non-coordonnées, repères locaux
1.4.5 Théorie de Hodge
1.4.6 Exemple de R3
1.5 Groupes d’homotopie
1.5.1 Composantes connexes par arcs
1.5.2 Le groupe fondamental
1.5.3 Revêtement universel
1.5.4 Groupes d’homotopie d’ordres supérieurs

2 Groupes et algèbres de Lie, représentations

2.1 Définitions
2.1.1 Groupes topologiques et groupes de Lie
2.1.2 Algèbres de Lie .
2.1.3 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie
2.1.4 Application exponentielle
2.2 Action d’un groupe de Lie
2.2.1 Définitions
2.2.2 Champ de vecteurs fondamental
2.2.3 Orbite d’une action, espaces quotients, espaces homogènes
2.3 Représentations de groupes .
2.3.1 Généralités sur les représentations
2.3.2 Représentations de groupes finis
2.3.3 Représentations de groupes compacts
2.4 Développements sur les algèbres de Lie
2.4.1 Algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie
2.4.2 Dualité sur une algèbre de Lie
2.4.3 Représentations d’algèbres de Lie
2.4.4 Représentations adjointe et coadjointe
2.4.5 Formes bilinéaires
2.4.6 Algèbres de Lie et semi-simplicité
2.5 Revêtements et groupes
2.5.1 Généralités
2.5.2 Les groupes Spin
2.5.3 Le groupe des rotations
2.5.4 Le groupe de Lorentz

3 Fibrés, connexions

3.1 Notions de fibrés
3.1.1 Fibré principal
3.1.2 Fibré de fibre quelconque .
3.1.3 Fibré vectoriel
3.1.4 Opérations sur les fibrés
3.1.5 Fibrés associés
3.2 Connexions sur un fibré principal
3.2.1 Connexions
3.2.2 Formes à valeurs vectorielles
3.2.3 Formes tensorielles
3.2.4 Différentielle covariante
3.2.5 Courbure .
3.2.6 Le groupe de jauge et son action
3.2.7 Relèvement horizontal, groupe d’holonomie
3.3 Connexions sur un fibré vectoriel associé
3.3.1 Du fibré principal au fibré vectoriel associé
3.3.2 Dérivation covariante et connexion
3.4 Expressions locales
3.4.1 Préliminaires
3.4.2 La 1-forme de connexion et la courbure
3.4.3 La différentielle covariante
3.5 Le fibré principal L(M)
3.5.1 Le fibré principal L(M)
3.5.2 Connexions linéaires
3.5.3 La torsion revisitée
3.6 Classes caractéristiques
3.6.1 Polynômes invariants
3.6.2 L’homomorphisme de Weil
3.6.3 Classes et caractères de Chern
3.6.4 Classes de Pontrjagin .
3.6.5 Classe d’Euler

Bibliographie 187

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Ditulis oleh: younes younes - lundi 9 juillet 2012

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