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COURS - ALGÈBRE CORPORELLE


Antoine Chambert-Loir

IRMAR, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex.
Centre deMathématiques, École polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex.

1. Extensions de corps .  

Constructions à la règle et au compas, 1 ; Corps, 3 ; Extensions de corps, 8 ; Quelques impossibilités classiques, 14 ; Fonctions symétriques des racines, 18 ; Appendice : transcendance de e et ¼, 20 ; Exercices, 24.

2. «Mais où sont mes racines ? » . 

Anneau des restes, 29 ; Extensions de décomposition, 32 ; Corps algébriquement clos ; clôture algébrique, 33 ; Appendice : structure des anneaux de polynômes, 37 ; Appendice : anneaux quotients, 40 ; Appendice : théorème de Puiseux, 42 ; Exercices, 46.

3. Théorie de Galois . 

Homomorphismes d’une extension dans une clôture algébrique, 51 ; Groupe d’automorphismes d’une extension, 54 ; Le groupe de Galois comme groupe de permutations des racines, 59 ; Discriminant, résolvantes, 63 ; Corps finis, 66 ; Exercices, 68.

4. Un peu de théorie des groupes . 

Groupes (rappels de définitions), 75 ; Sous-groupes, 76 ; Opération d’un groupe sur un ensemble, 78 ; Sous-groupes distingués, groupes quotients, 79 ; Groupes résolubles, nilpotents, 82 ; Groupe symétrique, alterné, 85 ; Groupes de matrices, 89 ; Exercices, 92.

5. Applications .  

Constructibilité à la règle et au compas, 97 ; Cyclotomie, 98 ; Extensions composées, 103 ; Extensions cycliques, 106 ; Les équations de degrés inférieur à 4, 108 ; Résolubilité par radicaux, 113 ; Comment (ne pas) calculer des groupes de Galois, 117 ; Spécialisation des groupes de Galois, 120 ; L’équation générique et le théorème d’irréductibilité de Hilbert, 127 ; Exercices, 133.

6. Équations différentielles . 

Corps différentiels, 139 ; Extensions différentielles. Construction de dérivations, 142 ; Équations différentielles, 146 ; Extensions de Picard- Vessiot, 148 ; Le groupe de Galois différentiel. Exemples, 151 ; La correspondance de Galois différentielle, 156 ; Extensions élémentaires, 157 ;
Appendice : théorème des zéros de Hilbert, 163 ; Exercices, 165. Problèmes d’examen .
Problème de révision (2002), 167 ; Contrôle classant (2002), 168 ; Session de rattrapage (2002), 171 ; Contrôle classant (2003), 171.
Bibliographie .
Index .  


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Ditulis oleh: younes younes - dimanche 16 septembre 2012

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