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COURS - Algèbre Linéaire


ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FÉDÉRALE DE LAUSANNE
Algèbre Linéaire
Sections : Matériaux et Microtechnique
Support du cours de Dr. Lara Thomas
Polycopié élaboré par : Prof. Eva Bayer Fluckiger
Dr. Philippe Chabloz

Table des matières

1 Systèmes d’équations linéaires et matrices  

1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires .
1.1.1 Systèmes linéaires et matrices .
1.2 Elimination Gaussienne .
1.2.1 Algorithme d’élimination de Gauss .
1.2.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires .
1.3 Systèmes homogènes d’équations linéaires . 

2 Eléments du calcul matriciel  

2.1 Quelques définitions et opérations .
2.2 Le produit matriciel .
2.2.1 Matrice identité .
2.3 Règles du calcul matriciel .
2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires .
2.5 L’inversion des matrices .
2.5.1 Matrices 2 2 .
2.5.2 Puissances d’une matrice .
2.6 Les matrices élémentaires .
2.7 Calcul de l’inverse d’une matrice .
2.8 Matrices triangulaires .
2.9 La transposition .
2.10 La trace .
2.11 Matrices symétriques .
2.12 Matrices antisymétriques . 

3 Le déterminant  

3.1 Permutations et déterminants .
3.1.1 Méthode pour calculer des déterminants de matrices de taille 2 2 et 3 3 .
3.2 Déterminants et opérations élémentaires .
3.3 Les cofacteurs et la règle de Cramer .
3.3.1 Calcul du déterminant par la méthode des cofacteurs .
3.3.2 Calcul de l’inverse par la méthode des cofacteurs .
3.3.3 Systèmes linéaires : règle de Cramer . 

4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace  

4.1 Définitions et règles de calcul .
4.1.1 Systèmes de coordonnées .
4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel .
4.2 Le produit scalaire .
4.2.1 Projection orthogonale .
4.3 Le produit vectoriel (cross product) .
4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel .
4.4 Le produit mixte (triple product) .
4.5 Droites et plans dans l’espace de dimension 3 .
4.5.1 Equation du plan passant par un point P0 et ayant vecteur normal n .
4.5.2 Droites dans l’espace de dimension 3 .  

5 Espaces euclidiens et applications linéaires  

5.1 Espaces de dimension n .
5.1.1 Définitions et notations .
5.1.2 Produit scalaire .
5.1.3 Norme et distance dans Rn .
5.1.4 Représentation matricielle des vecteurs de Rn .
5.1.5 Formule matricielle du produit scalaire .
5.1.6 Multiplication des matrices et produit scalaire .
5.2 Applications linéaires .
5.2.1 Rappels sur les applications .
5.2.2 Applications linéaires .
5.2.3 Quelques exemples d’applications linéaires .
5.2.4 Rotations .
5.2.5 Composition d’applications linéaires .
5.3 Propriétés des applications linéaires . 

6 Espaces vectoriels  

6.1 Définition et premières propriétés .
6.2 Sous-espaces vectoriels .
6.2.1 Espace des solutions d’un système d’équations linéaires homogènes .
6.3 Combinaison linéaire .
6.4 Indépendance linéaire .
6.4.1 Interprétation géométrique de la dépendance linéaire .
6.5 Bases et dimension .
6.6 Espace des lignes et colonnes d’une matrice .
6.7 Changements de bases .
6.7.1 Changement de bases en 2 dimensions .
6.7.2 Dimension quelconque .  

7 Produits scalaires généralisés  

7.1 Définition et premières propriétés .
7.2 Angles et orthogonalité .
7.2.1 Angle formé par deux vecteurs .
7.3 Bases orthogonales et méthode de Gram-Schmidt .
7.4 Matrices orthogonales .
7.4.1 Définition et Propriétés .
7.4.2 Changement de bases orthonormées .
7.4.3 Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 .
7.5 La méthode des moindres carrés .
7.5.1 Solution approximative d’un système d’équations linéaires .  

8 Valeurs propres et vecteurs propres  

8.1 Définitions et premières propriétés .
8.1.1 Calcul des vecteurs propres .
8.2 Diagonalisation .
8.2.1 Méthode pour diagonaliser une matrice .
8.3 Matrices symétriques et diagonalisation .  

9 Applications linéaires 

9.1 Définitions et exemples .
9.1.1 Propriétés des applications linéaires .
9.1.2 Expression d’une application linéaire dans une base .
9.2 Noyau et image d’une application linéaire .
9.3 Applications linéaires inversibles .
9.4 Matrice d’une application linéaire . 

10 Applications multilinéaires et tenseurs  

10.1 Formes linéaires .
10.1.1 Formes linéaires sur V : tenseurs d’ordre (0,1) .
10.1.2 Espace dual, bases duales .
10.1.3 Formes linéaires sur V : tenseurs d’ordre (1; 0) .
10.2 Formes multilinéaires sur V : tenseurs d’ordre (0;m) .
10.2.1 Formes bilinéaires sur V : tenseurs d’ordre (0; 2) .
10.2.2 Tenseurs d’ordre (0;m) .
10.2.3 Quelques interprétations physiques .
10.3 Formes multilinéaires sur V : tenseurs d’ordre (m; 0) .
10.3.1 Une remarque sur les tenseurs d’ordre (1; 0) .
10.3.2 Formes bilinéaires sur V : tenseurs d’ordre (2; 0) .
10.3.3 Tenseurs d’ordre (m; 0) .
10.4 Tenseurs mixtes d’ordre (p; q) .
10.4.1 Tenseurs d’ordre (p; q) .
10.4.2 Exemple des tenseurs d’ordre (1; 1) .
10.5 Opérations sur les tenseurs .
10.6 Changement de bases .
10.6.1 Cas des tenseurs d’ordre (1; 0) (vecteurs de V ) .
10.6.2 Cas des tenseurs d’ordre (0; 1) (formes linéaires sur V ) .
10.6.3 Cas des tenseurs d’ordre (0; 2) (formes bilinéaires sur V ) .
10.6.4 Cas des tenseurs (2; 0) (formes bilinéaires sur V ) .
10.6.5 Cas des tenseurs d’ordre (1; 1) .
10.6.6 Cas des tenseurs d’ordre (p; q) .
10.7 Champs tensoriels .
10.7.1 Définitions .
10.7.2 Changements de coordonnées .
10.7.3 Cas d’un champ tensoriel d’ordre (1; 0) (champ vectoriel) .
10.7.4 Cas d’un champ tensoriel d’ordre (0; 1) .
10.7.5 Cas d’un champ quelconque .
Index .
Index des notations .  


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Ditulis oleh: younes younes - lundi 17 septembre 2012

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