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COURS - CALCUL DIFFERENTIEL ET OPTIMISATION


UFR Mathématiques de la décision
Notes de cours
CALCUL DIFFERENTIEL ET OPTIMISATION
Guillaume CARLIER

Table des matières

I Topologie  


1 Espaces métriques

1.1 Définitions premiéres .
1.2 Topologie des espaces métriques .
1.3 Suites de Cauchy, espaces métriques complets .
1.4 Compacité .
1.5 Continuité .
1.6 Points fixes de contractions .
1.7 Connexité .

2 Espaces vectoriels normés, espaces de Banach

2.1 Définitions premiéres .
2.2 Séries a valeurs dans un espace de Banach .
2.3 Espaces vectoriels normés de dimension finie .
2.4 Inégalités de Holder et de Minkowski .
2.5 Exemples d' espaces de Banach .
2.6 Attention a la dimension infinie .

3 Applications linéaires, bilinéaires continues, dualité

3.1 Caractérisation .
3.2 Espaces d'applications linéaires continues, dual topologique .
3.3 Applications bilinéaires continues .
3.4 Un isomorphisme utile .

4 Espaces de Hilbert

4.1 Définitions et propriétés premiéres .
4.2 Projection sur un convexe fermé .
4.3 Le dual d'un espace de Hilbert .
4.4 Séparation .
4.5 Lemme de Farkas .  

II Calcul différentiel 


5 Quelques rappels

5.1 Plusieurs notions de différentiabilité .
5.2 Régles de calcul .
5.3 Dérivées partielles .
5.4 Représentation matricielle en dimension finie . 

6 Accroissements finis, formules de Taylor

6.1 Inégalités d'accroissements finis .
6.2 Applications .
6.3 Dérivées secondes .
6.4 Théoréme de Schwarz .
6.5 Dérivées partielles secondes .
6.6 Formules de Taylor .
6.7 Fonctions convexes .

7 Inversion locale, fonctions implicites

7.1 Théoréme de l'inversion locale .
7.2 Fonctions implicites .

III Optimisation

8 Résultats d'existence et rappels

8.1 Vocabulaire .
8.2 Théoréme d'existence de Weierstrass et variantes .
8.3 Conditions d'optimalité .

9 Optimisation sous contraintes d'égalité

9.1 Notations et d e nitions premiéres .
9.2 Un peu d'algébre linéaire .
9.3 Conditions du premier ordre de Lagrange .
9.4 Lagrangien et lagrangien généralisé .
9.5 Conditions du second ordre .

10 Optimisation sous contraintes générales

10.1 Notations .
10.2 Résultats préliminaires .
10.3 Condition d'optimalité de Kuhn et Tucker .
10.4 Lagrangien . 



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Ditulis oleh: younes younes - lundi 17 septembre 2012

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