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COURS - Topologie, analyse et calcul différentiel


Frédéric Paulin
Cours de troisième année de licence
École Normale Supérieure

Table des matières

1 Vocabulaire  

1.1 Le corps ordonné des nombres réels .
1.2 Espaces topologiques .
1.3 Espaces métriques .
Topologie définie par une famille de pseudo-distances .
1.4 Topologie engendrée et base d’ouverts .
Topologie de l’ordre .
1.5 Voisinages .
1.6 Intérieur, adhérence, frontière .
1.7 Séparation .
1.8 Continuité .
1.9 Connexité et connexité par arcs .
1.10 Indications pour la résolution des exercices .  

2 Constructions de topologies  

2.1 Comparaison de topologies .
2.2 Topologie initiale .
Topologie image réciproque .
Topologie définie par une famille de pseudo-distances .
Topologie définie par une famille de semi-normes .
Topologie étroite .
2.3 Sous-espace topologique .
Parties connexes .
2.4 Topologie produit .
Topologie limite projective .
2.5 Topologie finale .
Topologie somme disjointe .
Topologie faible définie par une famille de sous-espaces .
Topologie de Schwartz .
2.6 Topologie quotient .
Distance quotient d’une pseudo-distance .
Constructions topologiques par quotients .
Topologie limite inductive .
2.7 Groupes et corps topologiques .
Groupes topologiques .
Les groupes classiques .
Anneaux et corps topologiques .
Corps valués .
2.8 Espaces vectoriels topologiques .
Espaces vectoriels normés sur un corps valué .
Espaces vectoriels topologiques localement convexes .
Continuité des applications multilinéaires .
Topologie faible .
Topologie faible-étoile .
2.9 Espace quotient d’une action de groupe .
2.10 Indications pour la résolution des exercices . 

3 Limites et valeurs d’adhérence  

3.1 Limites .
Propriétés des limites .
3.2 Comparaison asymptotique : notation de Landau .
3.3 Valeurs d’adhérence .
3.4 Complétude .
Suites de Cauchy .
Espaces complets, de Banach, de Fréchet .
Théorème du point fixe de Banach .
3.5 Indications pour la résolution des exercices .  

4 Compacité  

4.1 Espace compact .
4.2 Compacité et valeurs d’adhérence .
4.3 Compacité et produits .
4.4 Compacité et continuité .
4.5 Espaces localement compacts .
Applications propres .
L’espace des bouts d’un espace localement compact .
4.6 Théorèmes de point fixe.
4.7 Indications pour la résolution des exercices . 

5 Topologie fonctionnelle  

5.1 Topologie de la convergence uniforme .
Exemples d’espaces fonctionnels complets .
Relation avec la convergence simple .
5.2 Topologie compacte-ouverte .
5.3 Continuité uniforme .
Complété d’un espace métrique. Corps valués complets .
5.4 Semi-continuité .
Limites supérieures et inférieures .
Semi-continuité inférieure et supérieure .
5.5 Théorème d’Arzela-Ascoli .
5.6 Approximation .
5.7 Théorie de Baire .
5.8 Indications pour la résolution des exercices . 

6 Analyse fonctionnelle  

6.1 Espaces de Banach .
Rappels et exemples .
Théorèmes de Hahn-Banach .
Résultats de compacités pour topologies affaiblies .
Applications de la théorie de Baire .
6.2 Espaces de Hilbert .
Rappels sur les espaces préhilbertiens et définitions .
Projection sur un convexe fermé .
Autodualité des espaces de Hilbert réels .
Théorèmes de Lax-Milgram et de Stampachia .
Bases hilbertiennes .
6.3 Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints bornés .
Spectre des opérateurs bornés .
Opérateurs compacts .
Opérateurs auto-adjoints .
Spectre des opérateurs auto-adjoints compacts .
Résolution spectrale des opérateurs auto-adjoints .
6.4 Indications pour la résolution des exercices .  

7 Calcul différentiel banachique  

7.1 Dérivation .
Propriétés élémentaires des différentielles .
7.2 Théorème des accroissements finis et applications .
7.3 Différentielles partielles et d’ordre supérieur .
Différentielles partielles.
Différentielles d’ordre supérieur.
Applications analytiques .
Vocabulaire .
7.4 Inversion locale et équations implicites .
7.5 Théorie de Cauchy-Lipschitz .
Existence locale .
Solutions approchées .
Unicité locale .
Explosion des solutions maximales en temps fini .
Cas des équations différentielles linéaires .
Régularité des solutions .
Propriété de la résolvante dans le cas linéaire .
Dépendance régulière des conditions initiales et des paramètres .
Des équations différentielles d’ordre p à celles du premier ordre .
7.6 Équations différentielles autonomes et champs de vecteurs .
7.7 Indications pour la résolution des exercices . 

8 Exercices de révision  

8.1 Énoncés .
Chapitre 1 .
Chapitre 2 .
Chapitre 3 .
Chapitre 4 .
Chapitre 5 .
Chapitre 6 .
Chapitre 7 .
8.2 Indications de résolution .
Index  


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Ditulis oleh: younes younes - lundi 17 septembre 2012

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