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Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles


F. Golse

Table des mati eres


I  Distributions  

1 Fonctions C    a support compact 

1.1 Calcul di erentiel : rappels et notations .
1.2 Fonctions de classe C    a support compact .
1.3 R egularisation des fonctions .
1.3.1 Convolution des fonctions .
1.3.2 R egularisation par convolution .
1.4 Partitions de l'unit e .
1.5 Appendice : In egalit es de Holder et de Minkowski .
1.6 Exercices .  

2 E.D.P. d'ordre un  

2.1 L' equation de transport .
2.2 Equations de transport a coe cients variables .
2.3 E.D.P. non lin eaires d'ordre un .
2.4 Exercices . 

3 Calcul des distributions  

3.1 Introduction .
3.2 Les distributions : d e nitions et exemples .
3.2.1 Notion de distribution .
3.2.2 Distributions positives .
3.2.3 Remarques sur la d e nition des distributions .
3.3 Convergence des suites de distributions .
3.4 Op erations sur les distributions .
3.4.1 D erivation des distributions .  
3.4.2 Multiplication par une fonction de classe C   .
3.4.3 Localisation et recollement des distributions .
3.4.4 Changement de variables dans les distributions .
3.4.5 D erivation/Int egration sous le crochet de dualit e .
3.4.6 Produit de distributions .
3.5 La formule des sauts et ses variantes .
3.5.1 Formule des sauts en dimension N = 1 .
3.5.2 Formule de Green-Riemann : rappels .
3.5.3 Formule de Green(-Ostrogradsky) .
3.5.4 Formule des sauts en dimension quelconque .
3.6 Distributions homog enes .
3.7 Exercices . 

4 Support et convolution des distributions  

4.1 Les distributions a support compact .
4.1.1 Support d'une distribution .
4.1.2 Distributions a support compact .
4.1.3 Structure des distributions a support dans un singleton .
4.2 Convolution C  *D'
4.3 Op erations sur les distributions (suite) .
4.3.1 Produit tensoriel de deux distributions .
4.3.2 Composition d'une distribution et d'une application C   .
4.4 Produit de convolution des distributions .  

4.5 Exercices .  

5 Transformation de Fourier
5.1 La classe de Schwartz S(RN) .
5.2 La transformation de Fourier sur S .
5.3 Les distributions temp er ees .
5.4 La transformation de Fourier sur S' .
5.5 Transformation de Fourier partielle .
5.6 Transformation de Fourier et s eries de Fourier .
5.7 Espaces de Sobolev .
5.8 Exercices .  

6 Appendice  

6.1 Rappels de topologie .
6.2 Int egration sur les surfaces .
6.2.1 Int egrales curvilignes : rappels .
6.2.2 El ement d'aire sur une surface ; int egrale de surface .
6.3 Int egration sur une hypersurface de RN .
6.3.1 Exercices .
6.4 Quelques propri et es de la fonction  Γ  . 

II  Applications aux EDP  

7 Op erateurs di erentiels  

7.1 Op erateurs di erentiels : exemples .
7.2 Solutions el ementaires .
7.2.1 Solution el ementaire du laplacien .
7.2.2 Solution el ementaire du d'Alembertien .
7.2.3 Solution el ementaire de l'op erateur de la chaleur .
7.2.4 Solution el ementaire de l'op erateur de Schrodinger .
7.3 Le probl eme de Cauchy au sens des distributions .
7.3.1 Le cas des equations di erentielles ordinaires .
7.3.2 Le cas des EDP .
7.4 Exercices .  

8 Equations de Laplace et de Poisson  

8.1 Origines du mod ele .
8.2 Fonctions harmoniques .
8.3 L' equation de Poisson dans l'espace euclidien .
8.4 Probl emes aux limites pour le laplacien .
8.5 Exercices .  

9 Equation de la chaleur  

9.1 Origines du mod ele .
9.2 Probl eme de Cauchy et equation de la chaleur .
9.3 Propri et es qualitatives .
9.3.1 Bornes sur la solution du probl eme de Cauchy .
9.3.2 E et r egularisant .
9.3.3 Irr eversibilit e .
9.3.4 Vitesse in nie de propagation .
9.4 Equation des milieux poreux .
9.4.1 Origine de l' equation des milieux poreux .
9.4.2 Solutions auto-similaires.
9.5 Solution de l' equation de Hopf apr es les chocs .
9.5.1 La transformation de Cole-Hopf .
9.5.2 La formule de Lax-Oleinik .
9.5.3 Appendice .
9.6 Exercices .  

10 Equation de Schrodinger  

10.1 Origines du mod ele .
10.2 Probl eme de Cauchy et equation de Schrodinger .
10.3 E ets dispersifs .
10.4 Transformation de Wigner .
10.4.1 La transformation de Wigner .
10.4.2 Limite semi-classique .
10.4.3 Interpr etation physique .
10.5 Exercices .  

11 Equation des ondes  

11.1 Origines du mod ele .
11.2 Le probl eme de Cauchy .
11.2.1 Formulation au sens des distributions .
11.2.2 Solution el ementaire dans le futur .
11.2.3 Existence et unicit e de la solution .
11.3 Solution el ementaire dans le futur .
11.3.1 Le cas g en eral en dimension N    2.
11.3.2 Le cas de la dimension N = 1 .
11.3.3 Le cas de la dimension N = 3 : moyennes sph eriques .
11.3.4 Le cas de la dimension N = 2 : m ethode de descente .
11.4 Propri et es qualitatives de l' equation des ondes .
11.4.1 Conservation de l' energie .
11.4.2 Propagation a vitesse nie .
11.4.3 Principe de Huygens .
11.5 Equation des ondes et transformation de Radon .
11.5.1 La transformation de Radon .
11.5.2 Transformation de Radon et equation des ondes .
11.5.3 Transformation de Radon et scanner .
11.6 Exercices.
Bibliographie  

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Ditulis oleh: younes younes - dimanche 16 septembre 2012

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