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Cours - Analyse de Fourier ( des signaux déterministes )


IRMAR, Université Rennes I
Bernard Delyon

Table des matières

I Algèbres de convolution ;

I.1 Algèbres de convolution, cas discret . 
I.1.1 Algèbres de Banach .  
I.1.2 L’algèbre de convolution (ℓ1(Z),+, ∗) .  
I.1.3 L’algèbre de convolution (ℓ(Z/pZ),+, ∗) .  
I.2 Convolution sur R . 
I.2.1 Cas de l’espace Cc(R) des fonctions continues à support compact . 
I.2.2 Convolution dans L1(R) . 
I.2.3 Convolution dans les espaces Lp(R) .  
I.3 Convolution des fonctions périodiques . 
I.4 Exercices . 

II Applications de la convolution sur R et T .

II.1 Régularisation par convolution .  
II.2 Convolution et approximation .  
II.2.1 Unités approchées .  
II.2.2 Convergence ponctuelle . 
II.2.3 Approximation dans L1 . 
II.2.4 Application à l’approximation. 
II.3 Cas des fonctions périodiques .  
II.3.1 Unités approchées pour les fonctions périodiques . 
II.3.2 Application à l’approximation .  
II.4 Exercices . 

III Séries de Fourier .

III.1 Séries trigonométriques et séries de Fourier . 
III.1.1 Polynômes et séries trigonométriques . 
III.1.2 Coefficients de Fourier d’une fonction . 
III.1.3 Série de Fourier d’une fonction et noyau de Dirichlet . 
III.2 Premiers résultats de convergence ponctuelle .  
III.3 Noyaux de Fejer et convergence des séries de Fourier .  
III.4 Convergence dans L2(T) .  
III.4.1 Rappel sur les espaces de Hilbert . 
III.4.2 Séries de Fourier .  
III.5 Application : synthèse sonore . 
III.6 Exercices .  

IV Transformation de Fourier .

IV.1 Propriétés de la transformation de Fourier .  
IV.2 Formule d’inversion .  
IV.3 Transformée de Fourier et espace S .  
IV.4 Transformation de Fourier des fonctions de L2 .  IV.5 Analyse du signal à court terme. Fenêtrage .  
IV.6 Exercices .  

V Distributions .

V.1 Notion de distribution, distribution tempérée .  
V.2 Transformée de Fourier d’une distribution tempérée .  
V.3 Mesure spectrale d’un signal. Application aux transmissions .  
V.4 Transformée de Hilbert et signal analytique .  
V.5 Exercices .  
VI Signaux à spectre limité. Échantillonnage .
VI.1 Signaux à spectre limité .  
VI.2 Théorèmes d’échantillonnage . 
VI.3 Transformée de Fourier discrète .  
VI.4 Application : Convertisseur numérique/analogique . 
VI.5 Application : Le multiplexage . 
VI.6 Exercices .  

VII Filtrage des signaux à temps discret .

VII.1 Espaces de signaux à temps discret .  
VII.2 Filtrage des signaux à temps discret .  
VII.2.1 Linéarité et invariance par translation dans le temps . 
VII.2.2 Transformée en z .  
VII.2.3 Les filtres rationnels .  
VII.3 Applications .  
VII.3.1 Échantillonnage. Conversion analogique/numérique .  
VII.3.2 Fenêtres .  
VII.3.3 Le filtrage en débruitage.  
VII.4 Exercices .  

VIII Filtrage en temps continu. Applications à la commande  .

VIII.1 Notions de base : système, entrée, sortie, régulateur .  
VIII.1.1 Systèmes linéaires entrée/sortie causaux. Filtres .  
VIII.1.2 Transformée de Laplace. Fonction de transfert . 
VIII.2 Existence de filtres .  
VIII.3 Production des sons : tube et membrane .  
VIII.4 Diagrammes. Initiation aux boucles de commande .  
VIII.4.1 Introduction : Conception de l’amortissement.  
VIII.4.2 Boucle de commande.  
VIII.4.3 Le P.I.D. 
VIII.5 Exercices . 

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Ditulis oleh: younes younes - samedi 22 décembre 2012

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