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cours - Simulation et modélisation


Bernard Delyon
IRMAR, Université Rennes I

Table des matières

I Les générateurs de suites i.i.d.  

I.1 Problématique . 
I.2 Générateurs pour la loi U([0, 1]) . 
I.2.1 Récurrences linéaires simple .  
I.2.2 Récurrences linéaires multiples .  
I.2.3 Décalage de registre .  
I.2.4 Améliorations modernes .  
I.3 Lois non uniformes : méthodes générales .  
I.3.1 Loi discrète .  
I.3.2 Inversion .  
I.3.3 Composition . 
I.3.4 Rejet . 
I.4 Quelques lois usuelles . 
I.4.1 Loi exponentielle .  
I.4.2 Loi normale . 
I.4.3 Vecteur gaussien .  
I.4.4 Vecteur sur la sphère .  
I.4.5 Loi du 2 p . 
I.4.6 Autres . 
I.5 Épreuves empiriques sur les suites pseudo-aléatoires .  
I.5.1 Épreuves de distribution instantannée . 
I.5.2 Épreuves d’indépendance .  
I.6 Exercices et compléments .  
I.6.1 Générateurs .  
I.6.2 Epreuves . 

II Monte Carlo : Exemples de base .

II.1 Estimation du volume . 
II.2 Intégration . 
II.3 Décompte . 
II.3.1 Premier cas . 
II.3.2 Deuxième cas .  
II.4 Exemples applicatifs simples .  
II.4.1 Temps d’échappement d’une comète du système solaire .  
II.4.2 Perte de connexion dans un graphe . 
II.4.3 Files d’attente . 
II.4.4 Options américaines . 
II.4.5 Calcul du niveau d’un test . 
II.5 Exercices . 

III Réduction de variance .

III.1 Échantillonage préférentiel (importance sampling) . 
III.2 Variables de contrôle .  
III.3 Échantillonage corrélé . 
III.4 Variables antithétiques .  
III.5 Échantillonage stratifié . 
III.6 Conditionnement .  
III.7 Quasi-Monte Carlo : les suites à discrépance faible . 
III.8 Exercices .  

IV Les échantillonneurs de Metropolis et de Gibbs .

IV.1 Rappels sur les chaînes de Markov à nombre fini d’états .  
IV.2 L’échantillonneur de Gibbs .  
IV.3 Algorithme de Metropolis . 
IV.3.1 Principes .  
IV.3.2 Simulation de graphes.  
IV.3.3 Marche aléatoire sans recoupement (self-avoiding random walk) .  
IV.3.4 Méthode de rejet . 
IV.4 Applications à l’estimation. Méthodes MCMC . 
IV.4.1 Maximum de vraisemblance .  
IV.4.2 Echantillonnage postérieur. Modèle bayésien hiérarchique .  
IV.4.3 Données manquantes 1 : Modèle bayésien .  
IV.4.4 Données manquantes 2 : L’algorithme EM .  
IV.5 Processus ponctuels .  
IV.5.1 Échantillonnage postérieur des processus ponctuels . 
IV.5.2 Simulation des «cluster Poisson process» . 
IV.6 Champs de Gibbs .  
IV.6.1 Définition des champs de Gibbs . 
IV.6.2 Échantillonnage de Gibbs . 
IV.6.3 Algorithme de Metropolis .  
IV.6.4 Autres exemples .  
IV.7 Exercices, exemples . 
IV.7.1 Chaînes de Markov . 
IV.7.2 Échantillonneur de Gibbs, algorithme de Metropolis . 
IV.7.3 Algorithme EM . 
IV.7.4 Processus ponctuels .   
IV.7.5 Champs de Gibbs . 

V Modèles markoviens .

V.1 Généralités . 
V.2 Simulation des processus de saut .  
V.3 Simulation de processus à évènements discrets .  
V.4 Modèles spatiaux dynamiques . 
V.5 Modèles semi-markoviens, modèles d’état .  
V.5.1 Modèles linéaires . 
V.5.2 Modèles non-linéaires. Filtrage particulaire . 
V.6 Exercices .  
V.6.1 Processus à évènements discrets .  
V.6.2 Modèles autorégressifs . . 

VI Simulation de processus : convergence .

VI.1 Algorithme des répétitions .  
VI.2 Régénération . 
VI.2.1 Renouvellement . VI.2.2 Théorie générale .  
VI.2.3 Méthode atomique .  
VI.2.4 Modification de la transition . 
VI.3 Échantillonnage parfait : couplage sur le passé .  
VI.3.1 Cas général .  
VI.3.2 Cas monotone .  
VI.3.3 Méthode d’encadrement et de domination .  
VI.4 Réduction de variance . 
VI.5 Exercices et compléments .  

VII Optimisation par Monte-Carlo .

VII.1 Approximation stochastique . 
VII.1.1 Deux exemples simples .  
VII.1.2 Forme générale et accélération .  
VII.1.3 La régression linéaire . 
VII.1.4 Exemple : Données manquantes .  
VII.1.5 Exemple : Algorithme de Kiefer-Wolfowitz . 
VII.1.6 Exemple : Optimisation d’une chaîne de Markov contrôlée .  
VII.1.7 Cadre général à dynamique markovienne . 
VII.1.8 Algorithmes de poursuite . 
VII.2 Recuit simulé . 
VII.3 Exercices . 

VIII Simulation d’équations différentielles stochastiques .

VIII.1 Introduction . 
VIII.2 Schémas d’intégration .  
VIII.3 Exercices de simulation. Exemples . 
VIII.4 Techniques spécifiques de simulation .  
VIII.4.1 Échantillonnage préférentiel .  
VIII.4.2 Importance splitting .  

IX Bootstrap .

IX.1 Introduction . 
IX.2 Estimation par répétitions (bootstrap paramétrique) .  
IX.3 Principes de base du bootstrap .  
IX.4 Exemples .  
IX.5 Échec du bootstrap dans un cas non-régulier .  
IX.6 Variantes et détails pratiques . 
IX.6.1 Bootstrap régularisé.  
IX.6.2 Bootstrap semi-paramétrique. . 
IX.6.3 Normalisation pivotale. 
IX.6.4 Bootstrap par sous-échantillonnage .  
IX.7 Exercices et compléments . 
A Filtre de Kalman .

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Ditulis oleh: younes younes - samedi 22 décembre 2012

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