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Cours - Systèmes polynomiaux : que signifie « résoudre » ?


Université Lille 1
UE INFO 251
François Boulier

Table des matières

1 Introduction ,
1.1 Résoudre .  
1.2 La chaîne GB + RS . 
1.3 Le cours . . 
1.4 Commande de robots .  
1.4.1 Un robot série planaire .  
1.4.2 Un robot parallèle .  
1.5 Schéma général de la partie GB .  
1.6 Schéma général de la partie RS . 

I Les méthodes ;

2 Résolution réelle ;

2.1 Suppression des multiplicités .  
2.1.1 Rappels mathématiques . 
2.1.2 Division euclidienne, pgcd dans K[x] .  
2.1.3 Irréductibilité, multiplicité . 
2.1.4 Factoriser pour résoudre .  
2.2 Algorithme de Vincent – Collins – Akritas .  
2.2.1 Intervalles d’isolation .  
2.2.2 Quelques bornes et un algorithme élémentaire . 
2.2.3 L’algorithme de Vincent – Collins – Akritas .  
2.3 éléments d’arithmetique par intervalles . 
2.3.1 Le problème des dépendances .  
2.3.2 Autre méthode .  
2.4 Exemple .  
2.4.1 Suppression des multiplicités .  
2.4.2 Isolation des racines reelles positives .  
2.4.3 Report des racines . 
2.4.4 Amélioration de la précision . 

3 Simplification de systèmes ;

3.1 Solutions, idéaux . 
3.1.1 Solutions d’un système .  
3.1.2 Idéal engendre .  
3.1.3 Correspondance entre solutions d’un système et idéal engendre . 
3.2 Ordres admissibles .  
3.2.1 Termes, monômes . 
3.2.2 Ordres admissibles .  
3.3 Réécriture .  
3.4 Bases de Grobner .  
3.5 L’algorithme de Buchberger en MAPLE . 
3.6 Décider si un système admet au moins une solution . 
3.6.1 Application `a la démonstration automatique .  
3.7 éliminer des indéterminées .  
3.7.1 Application `a la démonstration automatique . 
3.8 élimination et équation aux abscisses .  
3.9 Décider si un système admet un nombre fini de solutions .  
3.10 Bases de Grobner sous forme résolue .  
3.11 L’algorithme de Buchberger .  
3.11.1 Un systeme reduit `a un unique polynome est une base de Grobner . 
3.11.2 L’algorithme de Buchberger préserve la rationnalite . 
3.11.3 L’intersection d’une droite et d’un cercle .  
3.11.4 L’algorithme de Buchberger contient l’algorithme d’Euclide . 
3.11.5 L’algorithme de Buchberger contient le pivot de Gauss . 
3.11.6 L’algorithme de Buchberger préserve les dimensions . 
3.12 Exemple .  
3.13 Arrêt de l’algorithme de Buchberger .  

4 Pgcd de polynômes et calcul modulaire ,

4.1 Le problème . 
4.2 Calcul modulaire . 
4.2.1 Division euclidienne, pgcd dans Z .  
4.2.2 Anneau Z/nZ .  
4.2.3 Test d’inversibilite et calcul de l’inverse . 
4.2.4 Le théorème chinois .  
4.2.5 Conversions entre rationnels et nombres modulaires . 
4.3 Application du calcul modulaire au pgcd de deux polynômes .  
4.3.1 Une première méthode, présentée sur un exemple . 
4.3.2 Ce que cache l’exemple .  
4.3.3 Nombres premiers malchanceux . 
4.3.4 Pgcd dans Z[x] .  
4.3.5 Le problème du degré . 
4.3.6 Le problème du coefficient dominant . 
4.3.7 Un algorithme pour la première méthode . 4.3.8 Une seconde méthode, fondée sur le théorème chinois . 

II Application des méthodes ; 

5 Analyse topologique de courbes implicites planes ;

5.1 Points critiques . 
5.2 Principe de l’algorithme . 
5.3 Détermination des points de la courbe qui ont mˆeme abscisse qu’un point critique .  
5.4 Exemple .  

III Annexes ;

6 La méthode de Newton ;

6.1 Une équation en une variable . 
6.1.1 Justification .  
6.1.2 Exemple .  
6.1.3 Convergence de la méthode . 
6.2 Deux équations en deux variables .  
6.2.1 Justification . 
6.2.2 Exemple . 

7 Introduction au logiciel MAPLE ;

7.1 Les nombres . 
7.1.1 Les nombres inexacts . 
7.1.2 Les entiers et les rationnels . 
7.1.3 Les nombres irrationnels .  
7.2 Variables et symboles . 
7.3 Procédures et fonctions . 
7.3.1 Exemple .  
7.3.2 Retourner une valeur en l’affectant `a un paramètre .  
7.3.3 Retourner une expression symbolique .  
7.3.4 Fonctions définies avec une flèche . 
7.3.5 Fonctions et expressions .  
7.4 Structures de données . 
7.4.1 Séquences, listes et ensembles . 
7.4.2 équations et intervalles . 
7.4.3 Polynômes .  
7.5 Structures de contrôle .  
7.5.1 Les boucles for .  
7.5.2 La structure if . 
7.5.3 La boucle while . 7.6 éléments d’algebre de Boole .  
7.7 Le paquetage LinearAlgebra .  
Index ;
Bibliographie ;

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Ditulis oleh: younes younes - samedi 22 décembre 2012

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